«Ιατρικές ιστορίες συμβαίνουν τακτικά» έγραφαν σε άρθρο τους στο περιοδικό NOTICES OF THE AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY οι D. Rockmoreκαι J.L. Snell, «και είναι επόμενο σε συζητήσεις για τη διαφορά ανάμεσα στις τυχαιοποιημένες (randomized) κλινικές περιπτώσεις και τα επιδημιολογικά πειράματα».

Που σημαίνει:

(α) ότι μπορείς να πάρεις μια σειρά δεδομένων από κλινικούς θανάτους οφειλόμενους σε διάφορα αίτια και τα δεδομένα αυτά να τα δεις κάτω από ορισμένο πρίσμα, εισάγοντας τις δικές σου τυχαίες μεταβλητές, όπως λέγεται ότι παρουσιάζονται διεθνώς τα δεδομένα που σχετίζονται με τον ιό COVID19 (δεν πρόκειται λοιπόν ακριβώς για ψευδή δεδομένα, αλλά για δεδομένα που ταξινομούνται κάτω από μια συγκεκριμένη οπτική) και

(β) ότι από μόνη της αυτή η παρουσίαση δεν συνεπάγεται τις επιβαλλόμενες υγειονομικές ενέργειες, που στην πραγματικότητα ισοδυναμούν με ένα πείραμα εκ μέρους του αντίστοιχου κράτους και των ειδικών επιδημιολόγων του.

Αυτό εξάλλου μας αποκάλυψε (δηλ. τη λέξη «πείραμα») και ο διαπρεπής επιδημιολόγος που ηγείται του ΕΟΔΥ σε κάποια από τις συχνές εξάρσεις του με το διακριτικό χαμόγελο στα χείλη, στα καθημερινά νέα για την εξέλιξη της νόσου από την κρατική δημόσια τηλεόραση.

Έτσι, γίνεται φανερό στον καθένα, ότι ο επιλεγμένος τρόπος παρουσίασης των στατιστικών δεδομένων, όπως και οι αποφάσεις για τα υγειονομικά μέτρα, δεν προκύπτουν «αντικειμενικά» από κάποια επιστήμη που βρίσκεται υπεράνω όλων, ούτε ακόμη είναι απλώς επιστημονικές αποφάσεις που λαμβάνονται υπό αβεβαιότητα (όπως δεν κουράζονται να μας επαναλαμβάνουν ασταμάτητα οι επιδημιολόγοι).

Στην ουσία και στο βάθος πρόκειται για πολιτικές αποφάσεις, για επιδημιολογικά πειράματα που αποσκοπούν να πετύχουν συγκεκριμένους πολιτικούς στόχους.

Αυτό δεν σημαίνει ότι η επιστήμη (εν προκειμένω ορθότερα οι επιστήμες γιατί πρόκειται για διεπιστημονική συμβολή) δεν μπορούν να παίξουν σημαντικό ρόλο στη λήψη των πολιτικών αποφάσεων.

Από την πλευρά μας, ως μαθηματικοί και χωρίς να έχουμε καμιά πρόθεση να φανούμε παντογνώστες, θέλουμε σ’ αυτή την ανακοίνωση να επισημάνουμε ότι ο κύριος ρόλος των μαθηματικών βρίσκεται στη σειρά των λογικών βημάτων που από μια υπόθεση οδηγούν σε ένα συμπέρασμα ή ελέγχουν τη συμβατότητα των δηλώσεών μας μεταξύ τους: Μήπως είναι αντιφατικές;

Για να το πούμε αλλιώς, τα Μαθηματικά από μόνα τους και χωρίς τις επιλογές μας δεν συγκροτούν κατάλληλα μοντέλα της πραγματικότητας, αλλά μπορούν να ελέγξουν τη λογική συνοχή των μοντέλων και των ισχυρισμών μας.

Στην καθιερωμένη ανακοίνωση του ΕΟΔΥ το απόγευμα της Τρίτης 19-5-2020 ο κ. Τσιόδρας θέλησε να εκθέσει τις απόψεις του για το επικείμενο άνοιγμα ή όχι των Δημοτικών Σχολείων από την 1η Ιουνίου. Αφού εξέθεσε τα υπέρ και τα κατά, τους υγειονομικούς κινδύνους και τα επιδιωκόμενα οφέλη, κατέληξε στη δήλωση ότι, κάτω από τις παρούσες συνθήκες το όφελος από το άνοιγμα των Δημοτικών είναι μεγαλύτερο από το αναλαμβανόμενο ρίσκο, χωρίς όμως να δικαιολογήσει αυτό το συμπέρασμα με κάποιο συστηματικό ή λογικά πειστικό τρόπο.

Παρακάτω, με μόνα εφόδια την κοινή λογική και κάποια απλά Μαθηματικά επιπέδου Α΄ Λυκείου, θα αποδείξουμε ότι ο συγκεκριμένος ισχυρισμός του επιφανούς επιδημιολόγου δεν αντέχει σε λογικό έλεγχο.

Αντίθετα, έχουμε αρκετούς λόγους να συμπεράνουμε τον αντίθετο ισχυρισμό, ότι δηλαδή το ρίσκο του ανοίγματος των Δημοτικών Σχολείων είναι πολύ μεγαλύτερο από το πιθανό όφελος, αν υποτεθεί ότι ενδιαφερόμαστε πραγματικά για τις ανθρώπινες ζωές των μαθητών, των οικογενειών τους και των δασκάλων τους.

Στο σημείο αυτό είναι απαραίτητη μια σύντομη αλλά κρίσιμη για το θέμα παρένθεση.

Ακούγεται συχνά από ορισμένα ΜΜΕ, αλλά και από πολίτες που εκφράζουν την άποψή τους σε δημοσιογράφους στο δρόμο, ότι η ελληνική κυβέρνηση – σε αντίθεση με άλλες – επέλεξε, κατά την πρώτη φάση των περιοριστικών μέτρων να προασπίσει τις ανθρώπινες ζωές ως ύψιστο αγαθό.

Δεν είναι όμως καθόλου βέβαιο αυτό΄, ούτε φυσικά εύκολο για μας να μάθουμε αν υπήρχε όντως αυτή η πρόθεση.

Ο κ. Τσιόδρας είχε την ειλικρίνεια και την επιστημονική εντιμότητα να πει ότι τα μέτρα αποσκοπούσαν σε έναν αρκετά διαφορετικό και πολύ περισσότερο πραγματιστικό πολιτικό στόχο: Η κυβέρνηση και ο ΕΟΔΥ ήθελαν να εμποδίσουνμια γρήγορη ανάπτυξη της πανδημίας, επειδή γνώριζαν ότι δεν θα άντεχε καθόλου του σύστημα υγείας της χώρας να περιθάλψει ανθρώπους που θα νοσούσαν με εκθετικό ρυθμό.

Κατά ειρωνικό τρόπο «σωθήκαμε» επειδή, πέρα από την ηρωική αφοσίωση των επισφαλώς εργαζομένων γιατρών και νοσοκόμων, διαθέτουμε ένα πολύ φτωχό σύστημα υγείας, και όχι εξαιτίας των ανθρωπιστικών αρχών της κυβέρνησής μας!

Αλλά ας υποθέσουμε καλοπροαίρετα ότι οι ανθρωπιστικές αυτές αρχές και αξίες κυριαρχούν – εμείς το ευχόμαστε – και ότι τα κυβερνητικά στελέχη που παίρνουν τις πολιτικές αποφάσεις εμφορούνται αναντίρρητα από τις αξίες αυτές.

Η προϋπόθεση αυτή οδηγεί σε κάποιες μαθηματικές συνέπειες, αν εφαρμόσουμε τον πιο απλό έλεγχο της αναμενόμενης ωφελιμότητας σε μια επικείμενη απόφαση με ρίσκο, όπως αυτή του ανοίγματος των Δημοτικών Σχολείων.

Τα Μαθηματικά αυτού του ελέγχου ανήκουν στη στοιχειώδη Άλγεβρα και τη θεωρία των Πιθανοτήτωνπου διδάσκεται συνήθως στην Γ΄ Γυμνασίου και στην Α΄ Λυκείου, και εξηγούνται π.χ. από τον A. Rapoport στις πρώτες σελίδες ενός βασικού και καθόλου τεχνικού βιβλίου του.

Η θεμελιώδης μαθηματική έννοια στην οποία στηρίζεται ο έλεγχος είναι αυτή της αναμενόμενης ή μέσης τιμής που θα πάρει μια μεταβλητή με δύο δυνατές τιμές u και u΄, οι οποίες αντιστοιχούν σε δύο αντίθετα (ή συμπληρωματικά) ενδεχόμενα Ε και Ε΄.

Αυτές οι τιμές u και u΄ κυμαίνονται από το μείον άπειρο έως το συν άπειρο και, αν είναι θετικές ερμηνεύοονται από τα ενδοαφερόμενα άτομα ως «οφέλη», ενώ αν είναι αρνητικές ως «ζημία».

Αν η πιθανότητα του ενδεχομένου Ε συμβολιστεί με p και του συμπληρωματικού του Ε΄ με p΄, τότε το άθροισμα αυτών των πιθανοτήτων είναι η μονάδα, επειδή είναι βέβαιο ότι θα συμβεί ή το ένα από τα ενδεχόμενα αυτά ή το άλλο.  Επομένως p΄=1-p.

Η «αναμενόμενη» (ή μέση) τιμή της μεταβλητής με τιμές u και u΄και με αντίστοιχες πιθανότητες p και 1-p» είναι ένα εύλογο κριτήριο για πολλές περιπτώσεις προβλέψεων σε συνθήκες αβεβαιότητας και εδώ και μερικούς αιώνες λαμβάνεται ίση με το (αλγεβρικό) άθροισμα  u ̅ =up+u΄(1-p).

Στην περίπτωσή μας πρόκειται, μαζί με την πρόβλεψη, να πάρουμε και μια απόφαση, γι’ αυτό η συνάρτηση u ̅ όπως παραπάνω, λέγεται και «αναμενόμενη ωφελιμότητα» σε σχέση με τα ενδεχόμενα Ε και Ε΄ που θα προκύψουν από την απόφασή μας.

Έστω λοιπόν ότι με κριτήριο την αναμενόμενη ωφελιμότητα (και ανάλογα με το αν θα βγει σίγουρα θετική ή αρνητική) πρόκειται να αποφασίσουμε το άνοιγμα ή όχι των Δημοτικών Σχολείων για ένα διάστημα περίπου 20 ημερών.

Η βασική μας προϋπόθεση είναι ότι αποφασίζουμε εκτιμώντας τις τιμές των u και u΄για τον κάθε μαθητή χωριστά, σε σχέση με τους εκπαιδευτικούς που βρίσκονται κοντά του και με τα ενήλικα μέλη της οικογένειάς του ή τους συγγενείς του. Από την επιλογή να ανοίξουν τα Δημοτικά Σχολεία προκύπτει, για κάθε μικρό μαθητή, το ενδεχόμενο να νοσήσει (με ή χωρίς συμπτώματα) εκθέτοντας σε κίνδυνο τον εαυτό του, τη δασκάλα του και την οικογένειά τους.

Έστω Ε αυτό το ενδεχόμενο και Ε΄ το αντίθετο, δηλαδή να μη νοσήσει το παιδί και να επωφεληθεί πιθανόν σε ένα βαθμό από την ολιγοήμερη διδασκαλία.

Αν p και 1-p είναι οι αντίστοιχε πιθανότητες, όσο μειωμένη και αν είναι η πιθανότητα p, είναι υπολογίσιμη και όχι αμελητέα (με τα σημερινά τουλάχιστον δεδομένα).

Όμως το προσδοκώμενο «όφελος» και για το παιδί είναι προφανώς πολύ μικρότερο από το απόλυτο μέγεθος της εκτιμώμενης «ζημίας» u, που μπορεί να είναι ο θάνατος ανθρώπων.

Θα μπορούσαμε μάλιστα να υποθέσουμε ότι το εκτιμώμενο όφελος u΄ είναι το πολύ της τάξεως του αντιστρόφου της εκτιμώμενης ζημίας u που τη λαμβάνουμε κατά απόλυτη τιμή, δηλ. της τάξεως του κλάσματος 1/|u|=-1/u.

Αν θέσουμε για ευκολία Α=-u (οπότε το Α είναι ένας πολύ μεγάλος θετικός αριθμός), τότε η αναμενόμενη ωφελιμότητα u ̅ είναι της τάξεως του αριθμού –Ap+(1/A)(1-p) άρα είναι σίγουρα κατά πολύ μικρότερη του μηδενός, αφού το Α είναι πολύ μεγάλο, το 1/Α πολύ μικρό και η πιθανότητα p υπολογίσιμη και όχι αμελητέα.

Επομένως, αν πραγματικά το κριτήριο της απόφασης είναι ανθρωπιστικό και παιδαγωγικό, το προσδοκώμενο όφελος για κάθε παιδί από το άνοιγμα των Δημοτικών Σχολείων είναι σίγουρα κατά πολύ μικρότερο από το κίνδυνο απώλειας ζωής στο περιβάλλον του παιδιού, και η κυβέρνηση θα είναι σαφώς υπόλογη σε μια τέτοια αρνητική εξέλιξη.

Αν πάλι το κριτήριο είναι διαφορετικό, αν πρόκειται για ένα νέο σχέδιο επιδημιολογικού πειράματος, τότε θα πρέπει να δοθεί με ειλικρίνεια και σαφήνεια το σχέδιο αυτό στη δημόσια συζήτηση.

ΑΘΗΝΑ 22-5-20