συνέχεια (το Β. μέρος εδώ)

Παρουσιάστηκε στην ημερίδα της Κίνησης για την Αλλαγή στην Μαθηματική Εκπαίδευση, της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας

Τούλα Πάντου                                          Γιάννης Σιούλας

Μαθηματικός Συνταξιούχος Εκπ/κός      Μαθηματικός καθηγητής Δημόσιας Εκπαίδευσης

Βασικό ρόλο παίζει ο «τρόπος»

Στην πράξη και μέσα στις σχολικές αίθουσες έχει διαπιστωθεί ότι από τις πολύ μικρές ηλικίες, ανάλογα και  με την ωριμότητα κάθε παιδιού, οι μαθητές μπορούν να εξοικειωθούν με πολύ περισσότερες έννοιες, από αυτές που τα προγράμματα σπουδών προέβλεπαν .

Το θέμα βέβαια είναι ποιες έννοιες θα παρουσιάσουμε στα παιδιά, αλλά κυρίως ο τρόπος με τον οποίον θα τα προτρέψουμε να τις προσεγγίσουν.

Από το Νηπιαγωγείο ήδη το παιδί μπορεί τουλάχιστον

·     Να μετράει χωριστά αντικείμενα και συνεχή ποσά.

·     Να κατανοήσει τη φυσική διαδοχή των αριθμών, που εμπεριέχει και την έννοια της πρόσθεσης,

·     Να κατανοήσει την έννοια του μηδενός και να διακρίνει τους άρτιους και τους περιττούς.  

Μια πρώτη γνωριμία και μελέτη των στερεών σωμάτων και η κατασκευή γεωμετρικών στερεών με χαρτόνι, από τα αναπτύγματά τους, ανταποκρίνεται στις δεξιότητες των μαθητών, αφού στο νηπιαγωγείο κάνουν διάφορες άλλες κατασκευές.  

 Το  κατάλληλο εκπαιδευτικό υλικό «διδάσκει»

Η Lucy Crehan γράφει [1] για την Φινλανδία [2], «Τα παιδιά στον παιδικό σταθμό και το νηπιαγωγείο δε μαθαίνουν με τον τυπικό τρόπο, καθισμένα σε θρανία, αλλά μέσα από το παιχνίδι.»

Η Constance Kazuko Kamii, ερευνήτρια και καθηγήτρια Προσχολικής Αγωγής στο Πανεπιστήμιο στην Αλαμπάμα των ΗΠΑ αφιέρωσε μεγάλο μέρος των ερευνών της στο ρόλο των παιχνιδιών στην εκμάθηση των μαθηματικών.

Το κατάλληλο εποπτικό υλικό, δίνοντας οπτική, ακουστική και απτική εικόνα στις έννοιες. βοηθάει περισσότερο από το βιβλίο στην οικοδόμηση των μαθηματικών εννοιών.  Στις μικρές ηλικίες το εποπτικό υλικό υπό μορφήν παιχνιδιού μπορεί να γίνει δάσκαλος[3].

 Ενδεικτικά υλικά για το νηπιαγωγείο και τις μικρές τάξεις του Δημοτικού:

·       Η αντιστοίχιση της έννοιας του αριθμού 1, με ένα πραγματικό αντικείμενο που μπορεί να θεωρηθεί μοναδιαίο, όπως μία χάντρα, που παραλληλίζεται με το γεωμετρικό σημείο- είναι ένα κατάλληλο εποπτικό υλικό για την αρίθμηση και όχι μόνο. Το Μοντεσσοριανό εποπτικό υλικό με τις χάντρες, διαμορφωμένες ανά μία, ανά δύο, τρεις…, δέκα … εκατό… χίλια,  είναι κατάλληλο για τα μικρά χέρια των παιδιών της προσχολικής ηλικίας, και των πρώτων τάξεων του δημοτικού και  μπορεί να βοηθήσει  σταδιακά στην εισαγωγή και κατανόηση των πράξεων και του δεκαδικού συστήματος αρίθμησης.

·       Το σύστημα της  Συναρμολογούμενης Κυβικής Παλάμης [4]  από  κύβους ακμής 1mm, δίνει πολύ καλή εποπτεία και «πλέκει» αριθμητική με γεωμετρία, δίνοντας από την αρχή ευκαιρία για διάφορους συνδυασμούς και για την σταδιακή εισαγωγή και την κατανόηση των πράξεων, της  μέτρησης επιφανειών, των τετραγωνικών και κυβικών μονάδων μέτρησης, των δεκαδικών αριθμών και του δεκαδικού συστήματος.

·       Τα γνωστά «ξυλάκια», που τα χρησιμοποιούσαν οι εκπαιδευτικοί εδώ και δεκαετίες [5], είναι ένα χρήσιμο εργαλείο για την εισαγωγή του δεκαδικού συστήματος.

·       Ράβδοι-ορθογώνια παραλληλεπίπεδα, με κλιμακούμενο μήκος ανά 10cm μέχρι το ένα μέτρο, με κατάλληλους στοχευμένους συνδυασμούς μπορούν να δώσουν μια πολύ καλή συσχέτιση μονάδας, μοναδιαίου μήκους, αθροίσματος αριθμών και μηκών, μέτρησης συνεχών μεγεθών…Εισάγουν σαν πολύ διασκεδαστική εμπειρία και τον υπολογισμό του αθροίσματος των 10 πρώτων διαδοχικών αριθμών!! [6]

·       Υπάρχουν έξυπνες και εντυπωσιακές κατασκευές στερεών, από κανονικά πολύγωνα

·       Παιχνίδια με επίπεδα σχήματα βοηθούν τα παιδιά να ξεχωρίζουν τα είδη των γεωμετρικών σχημάτων.

·       Ειδικά παιχνίδια, κυρίως μοντεσσοριανά, βοηθούν στην κατανόηση των κλασμάτων.

·       Ειδικά επιτραπέζια παιχνίδια και παιχνίδια με τραπουλόχαρτα βοηθούν στην εξοικείωση με τις πράξεις.

Η αξιοποίηση κατάλληλων παιχνιδιών και εποπτικών μέσων, με σαφή και συγκεκριμένη διδακτική στόχευση, υιοθετήθηκε με έμφαση από πολλούς σπουδαίους επιστήμονες και παιδαγωγούς, εδώ και 100 και πλέον χρόνια. [7]

Όλα τα παραπάνω και άλλα πολλά είναι κατάλληλα για τις ηλικίες της προσχολικής και των πρώτων χρόνων της σχολικής εκπαίδευσης, όσο η αφαιρετική ικανότητα δεν έχει αναπτυχθεί και χρειάζονται χειροπιαστά αντικείμενα, που κινητοποιούν τις αισθήσεις.

Οι μαθητές ακόμη και στο Γυμνάσιο ξετρελαίνονται, αν ο δάσκαλος τους παρουσιάσει τα μαθηματικά με παιχνίδια χειροπιαστά ή νοητικά, με γρίφους, με φαινομενικά δύσκολα  και ασυνήθιστα προβλήματα.

Το νέο Πρόγραμμα Σπουδών μιλάει γενικά και αόριστα για χειραπτικό υλικό, μεταφέροντας όμως το μπαλάκι στους εκπαιδευτικούς.

Συμπερασματικά:

Στο δημοτικό θα είναι πιο αποτελεσματικό να γίνουν τα μαθηματικά (και άλλα ενδεχομένως μαθήματα) πιο παιγνιώδη και σε κάθε σχολείο να υπάρχουν οργανωμένα πακέτα με το κατάλληλο εποπτικό υλικό έτοιμο για χρήση.

Το Δεκαδικό Σύστημα Αρίθμησης

Η καλή γνωριμία με το δεκαδικό σύστημα, αυτό είναι το κλειδί και για άλλες παραπέρα γνώσεις σχετικά με τους αριθμούς. [8]

Τα μικρά παιδιά δεν τα τρομάζουν οι μεγάλοι αριθμοί. Ίσα-ίσα τα εντυπωσιάζουν και κινούν το ενδιαφέρον τους για να τους γνωρίσουν.

Έχοντας εξοικειωθεί στο Νηπιαγωγείο με την αρίθμηση έως το 10, οι μαθητές χρειάζεται να συνειδητοποιήσουν την ανάγκη οργάνωσης του πλήθους των αντικειμένων που αριθμούν, ώστε να είναι ευκολότερη και γρήγορη η απαρίθμησή τους.

Η παρουσίαση των αριθμών αρχικά μέχρι το 5, που γίνεται στα βιβλία της πρώτης Δημοτικού, τη στιγμή που στο Νηπιαγωγείο έχουν ήδη μάθει να μετρούν μέχρι το 10 είναι αψυχολόγητη. Και όλοι οι μετέπειτα διαχωρισμοί π.χ. μέχρι 100 , 1.000, 10.000 μέχρι το 100.000 …είναι ανούσιοι. Μπορεί τα παιδιά να αποκτούν τη γνώση κατ’ αναλογία με την εξέλιξη του ανθρώπου, αλλά έχουν προχωρήσει από το στάδιο του πρωτόγονου.

Ο μηχανισμός απαρίθμησης, οι πράξεις, οι ιδιότητες των αριθμών  είναι ενιαίες διαδικασίες.  Ο κατακερματισμός του συνόλου των αριθμών «από… έως» δεν εξυπηρετεί, συσκοτίζει. Ο μόνος διαχωρισμός που έχει βαρύνουσα σημασία είναι από το 1 έως το 9, όπου γίνεται το «άλμα» στην επόμενη μεγαλύτερης τάξης μονάδα, τη δεκάδα και από κάθε κατώτερη στην αμέσως ανώτερη μονάδα.

Το παρόν πρόγραμμα και τα βιβλία του 2007(!!!) [9]

 Ο δάσκαλος στο σχολείο, και ο μαθητής με το γονιό του στο σπίτι, από τη στιγμή που είναι οργανωμένη η μάθηση όπως είναι, έχουν για «ευαγγέλιο» το διδακτικό εγχειρίδιο, το βιβλίο.

Η ύλη και τα αντίστοιχα βιβλία των τάξεων του δημοτικού, που διδάσκονται σήμερα δεν εξυπηρετούν τις ανάγκες των μαθητών.

Η ύλη :

• είναι κατακερματισμένη και αποσπασματική
• στερείται λογικής συνοχής, συνέχειας και ομοιογένειας.
• δεν έχει σαφήνεια
• Χειραγωγεί τη σκέψη του παιδιού και την κατευθύνει.

Αυτή η χειραγώγηση θυμίζει τα θέματα των Πανελληνίων, που οι εκφωνήσεις τους διαμορφώνονται από τον τρόπο που οι υπεύθυνοι της επιτροπής λύνουν τα θέματα, υποδεικνύοντας έτσι στους υποψήφιους συγκεκριμένο τρόπο λύσης.

• Προωθεί την «κατανόηση» μέσω τυποποιημένων φορμαλιστικών μηχανισμών.
• Συγχέει αριθμητική με γεωμετρία, αντί να τις συνδυάζει και να τις συσχετίζει.
• Είναι κατ’ επίφαση της Φύσης και της Ζωής.
• Είναι βεβιασμένα και πρόωρα αφαιρετική.
• Είναι ένας αγώνας δρόμου συσσώρευσης ασύνδετων γνωστικών αντικειμένων και πολλές φορές αχρείαστων στη δεδομένη ηλικία .

Σ’ αυτές τις ηλικίες, δε βοηθούν στην οικοδόμηση της μαθηματικής σκέψης πολλά από τα περιεχόμενα στα υπάρχοντα βιβλία. Ενδεικτικά:

• Η πρόωρη εισαγωγή των πράξεων αφαίρεση και διαίρεση.
• Η πρόωρη εισαγωγή των δεκαδικών από στην Γ΄ τάξη. Η χρήση των δεκαδικών αριθμών και οι μετατροπές από δεκαδικά κλάσματα σε δεκαδικούς και αντίστροφα γίνονται με αποστήθιση  μηχανισμών, ακριβώς επειδή δεν έχει ακόμη εξηγηθεί επαρκώς η οργάνωση του δεκαδικού συστήματος.
• Η επιμονή στην αποστήθιση της προπαίδειας, υποδηλώνει έμμεσα ότι και τα μαθηματικά αποστηθίζονται.

Η προπαίδεια πρέπει να είναι προϊόν συλλογισμών, να χτίζεται επάνω στην πρόσθεση και να βοηθάει το παιδί να κατανοήσει τη συνάφεια των δύο πράξεων και τις ιδιότητές τους. Μικροί μαθητές με έφεση στα μαθηματικά δυσκολεύονται να απομνημονεύσουν την προπαίδεια. Η πίεση να την μάθουν βεβιασμένα τα αγχώνει. Η απομνημόνευσή της χρειάζεται χρόνο.

• Οι αριθμητικές παραστάσεις είναι πολύ «αφαιρετικές» για τις πρώτες τάξεις  του Δημοτικού. Ακόμη και στις μεγαλύτερες τάξεις  υπάρχει δυσκολία για την κατανόησή τους. Πριν να έχουν συνειδητοποιήσει τα παιδιά τις ιδιότητες των αριθμών, την προτεραιότητα και τις ιδιότητες  των πράξεων, η χρήση των αριθμητικών παραστάσεων είναι απολύτως άστοχη.
• Το αρχαίο ελληνικό σύστημα αριθμητικής γραφής στην Γ Δημοτικού !!! είναι παράταιρο
• Οι κακοσχεδιασμένες εικόνες για τον άβακα και για τα γεωμετρικά στερεά.
• Η έμφαση στα μοτίβα και τις «κανονικότητες» . Ο όρος «κανονικότητα», μάλλον είναι (μεταφρασμένος) νεολογισμός, ασύμβατος με τη σαφήνεια των μαθηματικών.
• Είναι επίσης ακατανόητη  μία «ελαφρά τη καρδία» γενικότερη υιοθέτηση νεολογισμών, «εκλαϊκευτικών» όρων και ορισμών αδόκιμων, που δεν προσφέρουν κάτι καινούργιο , αντίθετα γίνονται σε βάρος της σαφήνειας και των απαιτήσεων  της μαθηματικής ορολογίας, που καθιστούν τα μαθηματικά παγκοσμίως κατανοητή γλώσσα. Αν η ηλικία των μαθητών δεν είναι κατάλληλη για τους καθιερωμένους όρους, έννοιες και ορισμούς  δεν τους «εκλαϊκεύουμε», απλά τους αναβάλουμε.

Είναι απαραίτητο να υιοθετούνται ενιαία οι καθιερωμένοι όροι, ορισμοί, συμβολισμοί σε όλες τις εκπαιδευτικές βαθμίδες. Για παράδειγμα η σύγχυση στα ονόματα των στερεών.

• Στερεό ορθογώνιο, στο Γυμνάσιο και το Λύκειο δεν υπάρχει και είναι αδόκιμος μαθηματικός όρος.
• Γεωμετρικά σχήματα, είναι η ευρύτερη έννοια και χωρίζονται σε επίπεδα  και στερεά σχήματα. Στα  σχολικά βιβλία δημιουργείται μία σύγχυση  σχετικά.
• Σύγχυση δημιουργείται και στην πρόσθεση, όταν δεν γίνεται σαφές ότι προσθέτουμε όμοια αντικείμενα. Πρόβατα με πρόβατα και αγελάδες με αγελάδες.

Αν τα προσθέσουμε όλα μαζί πρέπει να διευκρινίζεται ότι προσθέτουμε όλα τα ζώα του κτηνοτρόφου.  Οι δάσκαλοι προφανώς το διευκρινίζουν, αλλά τα παιδιά στο σπίτι έχουν οδηγό το βιβλίο.

• Οι «αλλοπρόσαλλες» αριθμογραμμές θα γίνουν «ευθεία των πραγματικών αριθμών» στο Γυμνάσιο και το Λύκειο και  τότε δε θα γίνει απαραίτητα η συσχέτιση των διαφορετικών όρων. Εξάλλου ο όρος αριθμογραμμή είναι αδόκιμος διότι δεν έχουμε μια οποιαδήποτε γραμμή, αλλά ευθεία γραμμή. Επιπλέον τα σχετικά γραφικά δημιουργούν σύγχυση ως προς την έννοια της διαβάθμισης, διότι από μάθημα σε μάθημα και από τάξη σε τάξη η διαβάθμιση αλλάζει για να προσαρμοσθεί το σχήμα στις απαιτήσεις της κάθε σελίδας.
• Δεν έχουν επίσης νόημα οι νεωτερισμοί στους μηχανισμούς των υπολογισμών, όπως για παράδειγμα στα ανάλογα και αντιστρόφως ανάλογα ποσά, οι  πίνακες υπολογισμού, που δυσκολεύουν αντί να διευκολύνουν τα παιδιά.
• Ο κατ’ εκτίμηση υπολογισμός δεν έχει νόημα στο Δημοτικό. Σ’ αυτές τις ηλικίες  πρέπει να οικοδομηθεί  η έννοια της ακρίβειας και της σαφήνειας. Δεν μπορεί το σχολείο «να παράγει»  Πυθείες.
• Οι ασκήσεις εύρεσης του στόχου. Πέρα από την  ίδια την ορολογία -«στόχος»- και η γραφική παρουσίαση είναι ακατάλληλη και δεν πρόκειται για παιχνίδι ή βιωματική μάθηση.
• Η γενικότερη χρήση πινάκων είναι επίσης έξω από τις πραγματικές δυνατότητες των παιδιών και τα ενδιαφέροντα της ηλικίας τους. Κι αν τους χρησιμοποιούν, αυτό γίνεται μηχανικά χωρίς σαφή κατανόηση της χρήσης, της σημασίας, και της χρησιμότητάς τους.
• Τα πάσης φύσεως διαγράμματα είναι απολύτως άκαιρα. Πριν καλά μάθουν να γράφουν και να αριθμούν, δεν έχουν θέση οι αφαιρετικές διαδικασίες και δε βοηθούν στην οικοδόμηση μαθηματικής σκέψης.
• Η κατασκευή μαθηματικών μοντέλων είναι πολύ αφαιρετική διαδικασία. Για να γίνει συνειδητά προϋποθέτει βαθιά γνώση και συνειδητοποίηση της χρησιμότητάς τους. Δεν ανταποκρίνεται ούτε στα ενδιαφέροντα ούτε στην ωριμότητα των παιδιών του δημοτικού.
• Τα υπάρχοντα βιβλία των μαθηματικών στο Δημοτικό, , δεν έχουν καλοσχεδιασμένα σκίτσα, σαφείς εικόνες και καλαίσθητη εικονογράφηση και εμφάνιση. Είναι πολύ φτηνιάρικα για να εμπνέουν σεβασμό.
• Σε βιβλία του δασκάλου αναπτύσσονται λεπτομέρειες και λύσεις  προβλημάτων. Είναι αποκαρδιωτικό να δίνονται στα βιβλία του δασκάλου λανθασμένες λύσεις προβλημάτων των σχολικών εγχειριδίων.[10]
• Δεν είναι θεμιτό και ηθικό θα λέγαμε,  συγγραφείς των σχολικών βιβλίων να συγγράφουν και να εκδίδουν ακριβά βοηθητικά βιβλία , συμπληρωματικά του σχολικού βιβλίου στη συγγραφή του οποίου συμμετείχαν.

Συμπληρωματικά θα λέγαμε, πως η καθιέρωση κάθε νέου προγράμματος σπουδών θα πρέπει να συνοδεύεται από σοβαρή ενημέρωση για την εφαρμογή τους, τόσο των εκπαιδευτικών όσο και των γονιών, διαφορετικά είναι δώρο άδωρο.

Όλα τα παραπάνω, που αναφέρουμε ενδεικτικά, είναι προς αποφυγήν.

Θα μπορούσε να γραφτεί ολόκληρο βιβλίο κριτικάροντας τα προγράμματα σπουδών και τα σχολικά βιβλία και προτείνοντας ριζικές λύσεις. Δεν είναι όμως αυτό το θέμα της παρούσας συνοπτικής πρώτης ανάλυσης, που είναι προϊόν διδακτικής εμπειρίας και όχι ειδικής έρευνας και μελέτης. 

Το νέο πρόγραμμα σπουδών, που αναφέρει τον εκπαιδευτικό ως επαγγελματία[11] και όχι ως λειτουργό, δεν έχει τίποτε το καινούργιο, το πρωτότυπο, κανέναν εκσυγχρονισμό. Προτείνει μόνο ένα  εξωπραγματικό περιεχόμενο. Από  τον τρόπο παρουσίασης, έκφρασης, λεξιλογίου και ουσίας μπορεί κανείς να υποθέσει ότι πρόκειται για μεταφορά από κάποιο εξεζητημένο ξενόγλωσσο κείμενο, χαμένο πιθανόν στη μετάφραση.

Η Εκπαίδευση έχει την ικανότητα να καλλιεργεί ταλέντα, να εμπνέει ενθουσιασμό, να αυξάνει την κοινωνική κινητικότητα και να προσφέρει το όχημα που θα κάνει τους αυριανούς ενήλικες να εξελιχθούν σε μορφωμένους, δημιουργικούς, ενεργούς και ευσυνείδητους πολίτες. Όμως τα εκπαιδευτικά συστήματα είναι εξίσου ικανά να καταστρέφουν τα κίνητρα μαθητών και εκπαιδευτικών, να στερούν ευκαιρίες και να διευρύνουν προϋπάρχουσες κοινωνικές ανισότητες [12].

Το Υπουργείο Παιδείας, με τα νέα προγράμματα σπουδών που θέλει να επιβάλει, ερήμην όλων, καταπιέζει απροκάλυπτα τους μαθητές να ακολουθήσουν δρόμους και πρακτικές έξω από τη φύση, τα ενδιαφέροντά τους και την προϊστορία του Είδους μας.

Ευνουχίζει τη δημιουργική φαντασία και τον αυθορμητισμό των παιδιών. Επιχειρεί να κατευθύνει τη σκέψη τους σε φορμαλιστικά μονοπάτια. Προσπαθεί να τα εθίσει σε μια μίζερη, άνυδρη αποκλειστικά τεχνοκρατική κοινωνία, σε έναν κόσμο εικονικής πραγματικότητας, που προδιαγράφει το μέλλον τους σαν αυτοεκπληρούμενη προφητεία.

Η επιχειρούμενη προσπάθεια του Υπουργείου Παιδείας, να μετατρέψει, μέσω των προγραμμάτων σπουδών, τους μαθητές σε πειθήνια  μέλη της κοινωνίας των αγορών, σε απρόσωπα διαδικτυακά «ανθρωπάκια του Γαϊτη»,   εγκυμονεί κινδύνους για την πνευματική ανάπτυξη των παιδιών, την μορφωτική εξέλιξη  και το μέλλον τους.

   25 Μαρτίου 2022

Τούλα Πάντου                                                                         Γιάννης Σιούλας

Μαθηματικός Συνταξιούχος Εκπ/κός      Μαθηματικός καθηγητής Δημόσιας Εκπαίδευσης

Παρουσιάστηκε στην ημερίδα της Κίνησης για την Αλλαγή στην Μαθηματική Εκπαίδευση, της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας

[8] Μαρία Μοντεσσόρι